Question

如圖，在x軸上有五個點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4，5．分別過這些點(diǎn)作x軸的垂線與三條直線y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x相交，其中a＞0．若圖中陰影部分的面積是75a，則a為

 

．

Answer 1

分析：陰影部分由五個部分組成，分別為三角形或梯形，運(yùn)用整體的思想，把陰影部分的五個部分組成一個三角形來求面積就簡單多了．

解答：解：將8條直線共15個交點(diǎn)求出．（不計與坐標(biāo)系的，很簡單，直接寫）
 p₁（1，a），p₂（2，2a），p₃（3，3a），p₄ （4，4a），p₅ （5，5a）； 
 q₁（1，（a+1）），…q₅（5，5（a+1））；
 r1（1，（a+2））…r₅（5，5（a+2））  （p₁離原點(diǎn)最近，r₅離原點(diǎn)最遠(yuǎn)）
用梯形公式求出各陰影部分面積并求和（底為縱坐標(biāo)之差，高為1）
S₁=

1

2

r₁q₁=

1

2

；
S₂=

1

2

（q₁p₁+q₂p₂）×1=

3

2

；
S₃=

1

2

（（r₂q₂+r₃q₃）×1）
=

1

2

（（2（a+2）-2（a+1））+（3（a+2）-3（a+1）））
=

5

2

，
同理可得S₄=

7

2

，S₅=

9

2

（仿S₃一樣計算）
∴S=S₁+S₂+S₃+S₄+S₅=

1

2

+

3

2

+

5

2

+

7

2

+

9

2

=12.5，
∵S=75a，∴75a=12.5，
∴a=

1

6

．
故答案為

1

6

．

點(diǎn)評：主要考查了反比例函數(shù)和三角形的面積公式，要會根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出所需要的線段的長度，靈活運(yùn)用面積公式求解．
由于陰影部分是不規(guī)則的圖形，且又分散在不同區(qū)域，故應(yīng)該想到要運(yùn)用整體思想將陰影部分集中在同一區(qū)域中求解．這樣就比較自然地想到將分布在直線上方的三個陰影部分相應(yīng)地轉(zhuǎn)化到該直線下方的三個空白處．這樣問題就轉(zhuǎn)化為三角形面積的計算，經(jīng)檢驗(yàn)也確實(shí)符合如上所述的思考過程．本題以坐標(biāo)系為考查載體，結(jié)合一次函數(shù)的圖象將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成三角形的面積來計算，比較鮮明地滲透了轉(zhuǎn)化的思想與整體的思想，是一個思維含量較高的客觀題．