Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖1擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°，BC=6cm，EF=12cm．
如圖2，△DEF從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)．當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí)，△DEF停止移動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng)、DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．解答下列問題：
（1）當(dāng)t=

 

時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥DF？
（3）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A在線段PQ垂直平分線上，所以得到線段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出這兩個(gè)線段即可得解；
（2）利用平行線的性質(zhì)得出AQ=AM+MQ，進(jìn)而得出t的值；
（3）利用S_{四邊形APEC}=S_△ABC-S_△PBE，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）∵∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°，BC=6cm，
∴AB=12cm，AC=6

3

cm，
依題意，得EC=QC=t．
∴BE=6-t，AQ=6

3

-t，
∵BP=2t，
∴AP=12-2t．
當(dāng)點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上時(shí)，AP=AQ，
∴12-2t=6

3

-t，
解得t=12-6

3

，
即當(dāng)t=12-6

3

時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上；
故答案為：12-6

3

；

（2）∵PQ∥DF，
∴PQ⊥DE，∠AQP=45°．
過點(diǎn)P作PM⊥AQ，垂足為M（如圖1）．
∵在Rt△APM中，∠A=30°，AP=12-2t，
∴PM=6-t=QM，AM=（6-t）•

3

=6

3

-

3

t．
∵AQ=AC-QC=6

3

-t．
故6

3

-

3

t+6-t=6

3

-t．
解之得t=2

3

．

（3）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為N（如圖2），
∵在Rt△PBN中，∠B=60°，BP=2t，
∴PN=

3

t．
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=18

3

∴S_{四邊形APEC}=S_△ABC-S_△PBE
=18

3

-

1

2

(6-t)•

3

t
=

3

2

t²-3

3

t+18

3

．
即y=

3

2

t²-3

3

t+18

3

．
故t的取值范圍是：0＜t＜6．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了幾何變換以及線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，利用已知表示出各線段長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．