Question

如圖，已知拋物線y=﹣ax²+2ax+3a（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）請(qǐng)直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)a=，設(shè)直線AC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，請(qǐng)求出△ABP的面積．

Answer 1

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)．

【專題】計(jì)算題．

【分析】（1）利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，通過解方程﹣ax²+2ax+3a=0即可得到A（3，0），B（﹣1，0）；

（2）當(dāng)a=時(shí)，y=﹣x²+2x+3，先確定C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=﹣x+3，接著確定P點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

【解答】解：（1）令y=0，﹣ax²+2ax+3a=0，

整理得x²﹣2x﹣3=0，

解得x₁=3，x₂=﹣1，

所以A（3，0），B（﹣1，0）；

（2）當(dāng)a=時(shí)，y=﹣x²+2x+3，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，則C（0，3），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（3，0），C（0，3）代入得，解得，

所以直線AC的解析式為y=﹣x+3，

而拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣x+3=2，則P（1，2），

所以△APB的面積=×（3+1）×2=4．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．