Question

如圖：△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定,平行線(xiàn)的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)平行線(xiàn)得出∠OFC=∠DCF，根據(jù)角平分線(xiàn)定義得出∠ACF=∠DCF，推出∠OFC=∠ACF，推出OF=OC，同理得出OE=OC，即可得出答案；
（2）根據(jù)平行四邊形判定得出四邊形是平行四邊形，求出∠FCE=90°，根據(jù)矩形判定推出即可．

解答：解：（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF；

（2）當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECA+∠ACF=

1

2

∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形判定，平行四邊形判定，平行線(xiàn)性質(zhì)，角平分線(xiàn)定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．