Question

17．已知關(guān)于x的方程x²+2（m-1）x+（m²-7m-4）=0．
（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，且滿足x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=32，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可得△≥0，進(jìn)而可得[2（m-1）]²-4×1×（m²-7m-4）≥0，再解即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-2（m-1），x₁•x₂=m²-7m-4，再由完全平方公式可得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，代入x₁+x₂=-2（m-1），x₁•x₂=m²-7m-4可計(jì)算出m的值．

解答 解：（1）∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△≥0，
∴[2（m-1）]²-4×1×（m²-7m-4）≥0，
解得：m≥-1；

（2）∵方程兩實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2（m-1），x₁•x₂=m²-7m-4，
∵x₁²+x₂²=32，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=32，
∴4（m-1）²-2（m²-7m-4）=32，
解得：m=-5，m=2，
∵m≥-1，
∴m=2．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式，關(guān)鍵是掌握方程有實(shí)根則△≥0，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．