Question

6．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（0，-1）、B（4，-3）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為點C，點M是拋物線上一點，直線MN平行于y軸交直線AB于點N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x²+bx+c，求出b和c的值即可；
（2）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，過點A作AH⊥OB，垂足為點H，根據(jù)三角函數(shù)可求出AH的長，進一步得到BH的長，進而得到在Rt△ABH中，tan∠ABO的值；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法可求直線AB的解析式，設點M的坐標為（m，m²-$\frac{9}{2}$m-1），點N坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m-1），再分兩種情況：m²-4m=3或-m²+4m=3，進行討論求出符合題意的點N的坐標即可．

解答 解：（1）將A（0，-1）、B（4，-3）分別代入y=x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}c=-1\\ 16+4b+c=-3\end{array}\right.$，
解得b=-$\frac{9}{2}$，c=-1．
所以拋物線的解析式為y=x²-$\frac{9}{2}$x-1；
（2）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，過點A作AH⊥OB，垂足為點H，

在Rt△AOH中，OA=1，sin∠AOH=sin∠OBC=$\frac{4}{5}$，
∴AH=OA•sin∠AOH=$\frac{4}{5}$，
∴OH=$\frac{3}{5}$，BH=OB-OH=$\frac{22}{5}$，
在Rt△ABH中，tan∠ABO=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{4}{5}$÷$\frac{22}{5}$=$\frac{2}{11}$；
（3）設直線AB的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{kx+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
故直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-1，
設點M的坐標為（m，m²-$\frac{9}{2}$m-1），點N坐標為（m，-$\frac{1}{2}$m-1），
那么MN=|（m²-$\frac{9}{2}$m-1）-（-$\frac{1}{2}$m-1）|=|m²-4m|，
∵M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴MN=BC=3
解方程m²-4m=3得m=2±$\sqrt{7}$；    
解方程-m²+4m=3得m=1或m=3；   
所以符合題意的點N有4個，（2-$\sqrt{7}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$-2），（2+$\sqrt{7}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$-2），（1，-$\frac{3}{2}$），（3，-$\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定和性質，三角函數(shù)，解一元二次方程以及拋物線的性質，解答（3）題時要分類討論．