Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，EC平分∠DEB，F為CE的中點(diǎn)，連接AF，BF，過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC分別交AF，CD于G，H兩點(diǎn)．

（1）求證：DE=DC；

（2）求證：AF⊥BF；

（3）當(dāng)AFGF=28時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

試題（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的定義，即可得到∠DCE=∠DEC，進(jìn)而得出DE=DC；

（2）連接DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DFC=90°，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)得出BF=CF=EF=EC，再根據(jù)SAS判定△ABF≌△DCF，即可得出∠AFB=∠DFC=90°，據(jù)此可得AF⊥BF；

（3）根據(jù)等角的余角相等可得∠BAF=∠FEH，再根據(jù)公共角∠EFG=∠AFE，即可判定△EFG∽△AFE，進(jìn)而得出EF2=AFGF=28，求得EF=，即可得到CE=2EF=．

試題解析：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠CEB，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠CEB，∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC；

（2）如圖，連接DF，∵DE=DC，F為CE的中點(diǎn)，∴DF⊥EC，∴∠DFC=90°，在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，∴BF=CF=EF=EC，∴∠ABF=∠CEB，∵∠DCE=∠CEB，∴∠ABF=∠DCF，在△ABF和△DCF中，∵BF=CF，∠ABF=∠DCF，AB=DC，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB=∠DFC=90°，∴AF⊥BF；

（3）CE=．理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF=90°，∵EH∥BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，∴∠FEH+∠CEB=90°，∵∠ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴，即EF2=AFGF，∵AFGF=28，∴EF=，∴CE=2EF=．