Question

【題目】在中，，，為等邊三角形，，連接，為中點．

（1）如圖1，當(dāng)，，三點共線時，請畫出關(guān)于點的中心對稱圖形，判斷與的位置關(guān)系是 ；

（2）如圖2，當(dāng)A，，三點共線時，問（1）中結(jié)論是否成立，若成立，給出證明，若不成立，請說明理由；

（3）如圖2，取中點，連，將繞點旋轉(zhuǎn)，直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段的取值范圍是　　．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析，BM⊥ME；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）-1≤MN≤+1

【解析】

（1）先作出圖形，進而證明△AMF≌△DME，即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法得出△AMF≌△DMF，利用四邊形的內(nèi)角和定理及平角的定義得出∠BCE=∠BAF即可得出△AFB≌△CEB，從而求證；

（3）同（2）的方法得出∠BME=90°，進而得出BE=2MN，最后用三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．

解：（1）證明：如圖1，

延長BA，EM交于點F，即：△FAM即為所求，

∵△CDE是等邊三角形，

∴CD=CE=DE，∠CED=60°，

∵∠ABC=120°，

∴∠ABC+∠CED=180°，

∵B，C，E三點共線，

∴AB∥DE，

∴∠FAM=∠MDE，∠MED=∠F，

∵點M是AD中點，

∴AM=DM，

∴△AMF≌△DME，

∴AF=DE=CE，FM=ME，

∵AB=BC，

∴BF=BE，

∴BM⊥ME；

（2）證明：如圖2，延長EM到點F，使MF=ME，連接BF，AF，BE

∵AM=DM，∠FMA=∠DME，

∴△AMF≌△DMF，

∴AF=DE=CE，∠FAD=∠ADE，

在四邊形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，

∵∠ABC=120°，∠CED=60°，

∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°，

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°，

∴∠BCE=∠BAD+∠ADE，

∴∠BCE=∠BAF，

∵AB=AC，

∴△AFB≌△CEB，

∴BF=BE

∴BM⊥ME；

（3）如圖3，延長EM到點F，使MF=ME，連接BF，AF，BM，

∵AM=DM，∠FMA=∠DME，

∴△AMF≌△DME，

∴AF=DE=CE，∠FAD=∠ADE，

在四邊形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，

∵∠ABC=120°，∠CED=60°，

∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°，

∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°，

∴∠BCE=∠BAD+∠ADE，

∴∠BCE=∠BAF，

∵AB=CB，

∴△AFB≌△CEB，

∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，

∴∠FBE=∠ABC=120°，∠BEF=30°，

∴∠BME=90°，

∵點N是BE的中點，

∴MN=BE，

即：BE=2MN，

在△BCE中，BC=2，CE=CD=2，

∴2-2＜BE＜2+2

∴2-2＜2MN＜2+2，

即：-1≤MN≤+1，

故答案為：-1≤MN≤+1