Question

如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，點D在BC邊上，連接AD，點E在直線
AC上，直線DE交直線BA于點F，且∠BDA=∠CDE
（1）求證：BF•CE=AB²；
（2）當(dāng)∠BAC=120°時，作射線CF，在射線CF上確定一點G，使∠BGC=∠ABC，直線BG交直線AC于H，請你猜想AB，CE，AH這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并且證明你的猜想．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,平行線分線段成比例

專題：分類討論

分析：（1）如圖1，作輔助線；證明

AB

BF

=

BK

BD

；證明

CE

AC

=

CD

CK

；證明

BK

BD

=

CD

CK

，得到

AB

BF

=

CE

AC

，得到BF×CE=AB²．
（2）如圖2或3，作輔助線；證明BC²=CH×BF；證明BC²=3AB²，得到CH×BF=3BF×CE，得到CH=3CE，即可解決問題．

解答：
解：（1）如圖1，過A作DF的平行線交BC于K，
∵AK∥DF，
∴

AB

BF

=

BK

BD

；
∵AK∥DE，
∴

CE

AC

=

CD

CK

；
∵∠BDA=∠CDE，
∴∠AKC=∠ADB；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，在△ABD與△ACK中，

∠B=∠C ∠ADB=∠AKC AB=AC

，
∴△ABD≌△ACK（AAS），
∴BD=CK，BK=CD，
∴

BK

BD

=

CD

CK

，
∴

AB

BF

=

CE

AC

，
∴BF•CE=AB•AC，而AB=AC，
∴BF×CE=AB²．
（2）∵∠BGC=∠BCH，∠GBC=∠CBH，
∴△GBC∽△CBH，
∴∠BHC=∠BCG；
∵∠FBC=∠HCB，
∴△BHC∽△FCB，
∴

CH

BC

=

BC

BF

，
∴BC²=CH×BF；
過點A作BC的垂線，垂足是K；
∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACB=30°，BK=CK=

1

2

BC；
∵∠AKB=90°，
∴cos∠ABK=

BK

AB

=

3

2

，
∴BC²=3AB²，由（1）得BF×CE=AB²，
∴CH×BF=3BF×CE
∴CH=3CE．
①如圖2，當(dāng)H在AC上時，
AB、CE、AH這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：3CE+AH=AB．
②如圖3，當(dāng)H在CA延長線上時，
AB、CE、AH這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：3CE-AH=AB．

點評：該題以三角形為載體，主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用、相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用等幾何知識點問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．