Question

14．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，在外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME．有以下結(jié)論：①BE=CF；②ME⊥BC；③DE=DN；④圖中度數(shù)為22.5°的角有5個(gè)，其中正確的結(jié)論有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根據(jù)等角對等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，從而求出∠DAE=∠ECM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，再利用“角邊角”證明△ADE和△CDN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．

解答 解：①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°-45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
②如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，

∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC；
③由題意得，∠CAE=90°-$\frac{1}{2}$×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
∴AC=CE，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CM}\\{AC=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），
∴∠ACM=∠ECM=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
又∵∠DAE=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
在△ADE和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠ECM}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDN（ASA），
∴DE=DN，
④圖中度數(shù)為22.5°的角有∠MEA，∠MAE，∠EAD，∠ACM，∠ECM，∠CAF 共6個(gè)，錯(cuò)誤，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于最后一問根據(jù)角的度數(shù)得到相等的角．