Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．給出以下五個(gè)結(jié)論：
（1）AE=CF；（2）∠APE=∠CPF；（3）三角形EPF是等腰直角三角形；（4）S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC；（5）EF=AP，
其中正確的有

4

個(gè)．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)證明△AEP≌△CFP就可以得出AE=CF，
（2）由∠EPA+∠FPA=90°，∠CPF+∠FPA=90°，就可以得出結(jié)論；
（3）由△AEP≌△CFP就可以PE=PF，即可得出結(jié)論；
（4）由S_{四邊形AEPF}=S_△APE+S_△APF．就可以得出S_{四邊形AEPF}=S_△CPF+S_△APF，就可以得出結(jié)論，
（5）由條件知AP=

1

2

BC，當(dāng)EF是△ABC的中位線時(shí)才有EF=AP，其他情況EF≠AP．

解答：解：（1）∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°，∠CPF+∠FPA=90°，
∴∠APE=∠CPF．故（1）正確．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵P是BC的中點(diǎn)，
∴BP=CP=AP=

1

2

BC．∠BAP=∠CAP=45°．
∴．∠BAP=∠C．
在△AEP和△CFP中

∠APE=∠CPF AP=CP ∠BAP=∠C

，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE=CF，PE=PF，S_△AEP=S_△CFP，故（2）正確．
∴△EPF是等腰直角三角形．故（3）正確．
∵S_{四邊形AEPF}=S_△APE+S_△APF．
∴S_{四邊形AEPF}=S_△CPF+S_△APF=S△FAE=

1

2

S_△ABC．故（4）正確．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點(diǎn)，
∴AP=

1

2

BC，
∵EF不是△ABC的中位線，
∴EF≠AP，故（5）錯(cuò)誤；
∴正確的共有4個(gè)．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，中位線的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判定定理的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．