Question

16．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接AC、CB，∠B=∠AEC．
（1）如圖1，求證：CE=CD；
（2）如圖2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)CE交⊙O于點(diǎn)G，若tan∠BAC=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$，EG=2，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明CE=CD，只要證明∠CED=∠D，利用等角的余角相等即可；
（2）作CH⊥DE于H．設(shè)∠ECH=α，想辦法用α表示∠BAC以及∠CAE即可解決問(wèn)題；
（3）連接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，首先證明∠CAG=∠BAC，由tan∠BAC=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$，設(shè)NG=5$\sqrt{3}$m，可得AN=11m，AG=$\sqrt{A{N}^{2}+N{G}^{2}}$=14m，由∠ACG=60°，推出CN=5m，AM=8$\sqrt{3}$m，MG=$\sqrt{A{G}^{2}-A{M}^{2}}$=2m=1，推出m=$\frac{1}{2}$，推出CE=CD=CG-EG=10m-2=3推出AE=$\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=7；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O

∴∠B+∠D=180°，
∵∠B=∠AEC，
∴∠AEC+∠D=180°，
∵∠AEC+∠CED=180°，
∴∠D=∠CED，
∴CE=CD．

（2）解：作CH⊥DE于H．

設(shè)∠ECH=α，由（1）CE=CD，
∴∠ECD=2α，
∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，
∴∠CAE+∠AEC=120°
∴∠ACE=180°-∠AEC-∠ACE=60°，
∴∠CAE=90°-∠ACH=90°-（60°+α）=30°-α，
∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，
∵∠ACD=2∠BAC，
∴∠BAC=30°+α，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°-α=60°．

（3）連接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG

∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
∴EM=MG=$\frac{1}{2}$EG=1，
∴∠EAG=∠ECD=2α，
∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°-α+2α=∠BAC，
∵tan∠BAC=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$，
∴設(shè)NG=5$\sqrt{3}$m，可得AN=11m，AG=$\sqrt{A{N}^{2}+N{G}^{2}}$=14m，
∵∠ACG=60°，
∴CN=5m，AM=8$\sqrt{3}$m，MG=$\sqrt{A{G}^{2}-A{M}^{2}}$=2m=1，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴CE=CD=CG-EG=10m-2=3
∴AE=$\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．