Question

如圖，在邊長在2的正方形ABCD中，點F在x軸上一點，CF=1，過點B作BF的垂線，交y軸于點E；
（1）求過點E、B、F的拋物線的解析式；
（2）將∠EBF繞點B順時針旋轉，角的一邊交y軸正半軸于點M，另一邊交x軸于點N，設BM與（1）中拋物線的另一交點為G，當點G的橫坐標為

6

5

時，EM與NO有怎樣的數量關系？請說明你的結論；
（3）點P在（1）中的拋物線上，且PE與y軸所成銳角的正切值為

3

2

，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的邊長易求得B、F點坐標．若∠EBF=90°，那么∠ABE、∠CBF為同角的余角，由此可證得△ABE≌△CBF，即可求得AE的長，從而可得到E點坐標，從而利用待定系數法求得該拋物線的解析式．
（2）根據點G的橫坐標，可確定G點的坐標，易求得直線BG的解析式，從而得到M點的坐標，即可得到EM、AM的長，由（1）知AM=CN，由此可求得CN、ON的長，然后可求得EM、ON的數量關系．
（3）此題應分兩種情況考慮：
①當點P在E點上方時，過P作PH⊥y軸于H，連接PE，根據拋物線的解析式可設出點P的坐標，即可得到EH、PH的長，然后根據∠PEH的正切值求出點P的坐標．
②當點P在E點下方時，方法同①．

解答：解：（1）由題意，可得點B（2，2）；
∵CF=1，
∴F（3，0）；
在正方形ABCD中，∠ABC=∠OAB=∠BCF=90°，AB=BC，
∵BE⊥BF，
∴∠EBF=90°，
∴∠EBF=∠ABC，
即∠ABE+∠EBC=∠EBC+∠CBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△ABE≌△CBF；
∴E（0，1）．
設過點E，B，F的拋物線的解析式為y=ax²+bx+1，則有：

4a+2b+c=2 9a+3b+c=0 c=1

，
解得

a=- 5 6 b= 13 6 c=1

；
∴該拋物線的解析式為：y=-

5

6

x²+

13

6

x+1．

（2）∵G（

6

5

，y)在拋物線y=-

5

6

x2+

13

6

x+1上，
∴y=-

5

6

(

6

5

)2+

13

6

×

6

5

+1=

16

5

，
∴G（

6

5

，

12

5

）；
設過B、G的直線解析式為y=kx+b，
∴

2k+b=2 6 5 k+b= 12 5

∴

k=- 1 2 b=3

∴過點BE的直線解析式為y=-

1

2

x+3，
∴直線y=-

1

2

x+3與y軸交于點M（0，3），
∴EM=2；
可證△ABM≌△CBN，
∴CN=AM，
∴ON=1；
∴EM=2ON．


（3）點P在拋物線y=-

5

6

x2+

13

6

x+1上，設P點的坐標為（m，-

5

6

m2+

13

6

m+1)，
如圖2：①過點P₁作P₁H1⊥y軸于點H₁，連接P₁E；
∴tan∠H₁EP₁=

3

2

，
∴

P1H1

H1E

=

3

2

，
即

m

- 5 6 m2+ 13 6 m+1-1

=

3

2

，
解得m1=

9

5

，m2=0（不合題意，舍去）；
②過點P₂作P₂H₂⊥y軸于點H₂，連接P₂E，
∴tan∠H2EP2=

3

2

，
∴

P2H2

H2E

=

3

2

，
解得m3=

17

5

，m4=0（不合題意，舍去）
當m1=

9

5

時為

11

5

，
當m3=

17

5

時為-

19

15

．
綜上所述，點P₁（

9

5

，

11

5

），P₂（

17

5

，-

19

15

）為所求．

點評：此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、二次函數解析式的確定、銳角三角函數的定義等知識，同時還考查了分類討論的數學思想，難度較大．