Question

5．如圖，一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+2的圖象與x軸交于點B，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象的一個交點為A（2，m）．
（1）求反比例函數(shù)的表達式；
（2）求當(dāng)x滿足什么范圍時，$\frac{1}{2}$x+2＜$\frac{k}{x}$；
（3）過點A作AC⊥x軸，垂足為點C，如果點P在反比例函數(shù)圖象上，且△PBC的面積等于6，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）先將點A（2，m）代入反比例函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+2求得A的坐標，然后代入y=$\frac{k}{x}$，求得k的值即可；
（2）首先求出兩函數(shù)交點的坐標，再結(jié)合反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象即可求出$\frac{1}{2}$x+2＜$\frac{k}{x}$的解集；
（3）可求得點B的坐標，設(shè)P（x，y），由S_△PBC=6，即可求得x，y的值．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x+2的圖象經(jīng)過點A（2，m），
∴m=3．
∴點A的坐標為（2，3）．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點A（2，3），
∴k=6，
∴反比例函數(shù)的表達式為y=$\frac{6}{x}$．
（2）聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{-1}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{2}$x+2＜$\frac{k}{x}$的解集為：x＜-6或0＜x＜2；
（3）令$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x=-4，即B（-4，0），
∵AC⊥x軸，
∴C（2，0）．
∴BC=6．
設(shè)P（x，y），
∵S_△PBC=$\frac{1}{2}$•BC•|y|=6，
∴y₁=2或y₂=-2．
分別代入y=$\frac{6}{x}$中，
得x₁=3或x₂=-3．
∴P（3，2）或P（-3，-2）．

點評 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，利用待定系數(shù)法求解析式是解此題的關(guān)鍵．