Question

（2013•江陰市一模）已知直線y=-

3

4

x+m與x軸y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6）
（1）求的m值和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在矩形OACB中，某動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿折線B-C-A運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止．直線PD⊥AB于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E．設(shè)在矩形OACB中直線PD未掃過(guò)的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
①求s與t的函數(shù)關(guān)系式；
②⊙Q是△OAB的內(nèi)切圓，問(wèn)：t為何值時(shí)，PE與⊙Q相交的弦長(zhǎng)為2.4？

Answer 1

分析：（1）直接將（0，6）代入求出即可，進(jìn)而得出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①利用當(dāng)PE正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，求出BM=

OB

OA

•OB=

6

8

×6=

9

2

，進(jìn)而利用當(dāng)0＜t≤

9

2

時(shí)，當(dāng)

9

2

＜t≤8時(shí)，當(dāng)8＜t≤14時(shí)分別得出即可；
②首先求出⊙Q的半徑為r，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)PE在圓心Q的兩側(cè)時(shí)，分別求出即可．

解答：解：（1）把（0，6）代入y=-

3

4

x+m
得：m=6，
則函數(shù)的解析式是：y=-

3

4

x+6，
令y=0，則-

3

4

x+6=0，
解得：x=8．
則A的坐標(biāo)是（8，0）；

（2）①如圖1，當(dāng)PE正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，
∵AB⊥MO，
∴∠OBD+∠BOM=90°，
∵∠OBD+∠MBD=90°，
∴∠MBD=∠BOM，
∵∠MBD=∠BAO，
∠OBM=∠BOA，
∴△MBO∽△BOA，
∴

BM

OB

=

OB

OA

，
則BM=

OB

OA

•OB=

6

8

×6=

9

2

，
四邊形OACB的面積是：6×8=48，
當(dāng)0＜t≤

9

2

時(shí)，BP=t，則BE=

8

6

t=

4

3

t，
則s=S_{四邊形OACB}-S_△BPE=48-

1

2

t•

4

3

t=48-

2

3

t²；
當(dāng)

9

2

＜t≤8時(shí)，BP=t，PC=8-t，
OE=t-

9

2

，
∴AE=8-OE=8-（t-

9

2

）=

25

2

-t，
則s=

1

2

[（8-t）+（

25

2

-t）]•6=

123

2

-6t；
當(dāng)8＜t≤14時(shí)，AP=14-t，PE=

3

4

（146-t），
s=

1

2

×

3

4

（14-t）²=

3

8

（14-t）²；

②⊙Q是△OAB的內(nèi)切圓，可設(shè)⊙Q的半徑為r，
∴S△OAB=

1

2

（6+8+10）r=

1

2

×6×8，
解得r=2，
設(shè)⊙Q與OB、AB、OA分別切于點(diǎn)F、G、H，
可知，OF=2，
∴BF=BG=OB-OF=6-2=4，
如圖2，設(shè)直線PD與⊙Q交于點(diǎn)I、J，過(guò)Q作QM⊥IJ于點(diǎn)M，連接IQ、QG，
∵QI=2，IM=

1

2

IJ=1.2，
∴QM=

QI2-TM2

=1.6，
∴在矩形GQMD中，GD=QM=1.6，
∴BD=BG+GD=4+1.6=5.6，
由cos∠CBA=

BD

BP

=

8

10

，
得BP=

5

4

BD=7，
∴t=7，
當(dāng)PE在圓心Q的另一側(cè)時(shí)，P′E′∥PE，
∵直線y=-

3

4

x+6與P′E′垂直，
∴

BP′

BF

=

3

4

，
∵BF=4，
∴BP′=3，則t=3，
綜上，t為7或3秒時(shí)，PE與⊙Q相交的弦長(zhǎng)為2.4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定與性質(zhì)以及多邊形面積求法等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．