Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．

（1）觀(guān)察猜想

如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)，

①BC與CF的位置關(guān)系，

②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為；

（2）數(shù)學(xué)思考

如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；

若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明；

（3）拓展延伸

如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G，連接GE．若已知AB=2，CD=BC，求CF，EG.

Answer 1

【答案】(1) ①垂直,②BC=CF+CD;(2) CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,為CD=CF+BC；

(3)CF=5；EG=.

【解析】

(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAH=, 推出ΔDAB≌ΔFAC, 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論; ②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出ΔDAB≌ΔFAC, 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD, ∠ACF=∠ABD, 根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

(2) 根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=, 推出ΔDAB≌ΔFAC, 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的角的性質(zhì)可得到結(jié)論.

(3) 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=AB=4, AH=BC=2, 求得DH=3, 根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DE, ∠ADE=, 根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NE=CM, EM=CN, 由角的性質(zhì)得到∠ADH=∠DEM, 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=DH=3,DM=AH=2, 等量代換得到CN=EM=3, EN=CM=3, 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG=BC=4,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

解：(1)正方形ADEF 中, AD=AF ,

∠BAC=∠DAF=,∠BAD=∠CAF,

在ΔDAB與ΔFAC中,

∠BAD=∠CAF,AB=AC， AD=AF

ΔDAB≌ΔFAC (SAS),

∠B=∠ACF,

∠ACB+∠ACF=,即 BC⊥CF;

故答案為:垂直;

②ΔDAB≌ΔFAC,

CF=BD,

BC=BD+CD,

BC=CF+CD;

故答案為: BC=CF+CD;

(2)CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.

正方形ADEF 中, AD=AF,

∠BAC=∠DAF= ,

∠BAD=∠CAF ,

在ΔDAB與ΔFAC中,

∠BAD=∠CAF ,AB=AC， AD=AF

ΔDAB ≌ΔFAC(SAS),

∠ABD=∠ACF ,

∠BAC=, AB=AC,

∠ACB=∠ABC=.

∠ABD=-= ,

∠BCF=∠ACF-∠ACB=-=，

CF⊥BC.

CD=DB+BC , DB=CF ,

CD=CF+BC.

(3)過(guò)A作AH⊥BC于H,過(guò)E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N,

∠BAC= , AB=AC,

BC=AB=4,AH=BC=2 ,

CD=BC=1,CH=BC=2 ,

DH=3,

由(2)證得BC⊥CF, CF=BD=5,

四邊形ADEF 是正方形,

AD=DE,∠ADE= ,

BC⊥CF, EM⊥BD, EN⊥CF,

四邊形CMEN是矩形,

NE=CM,EM=CN,

∠AHD=∠ADC=∠EMD=,

∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=

∠ADH=∠DEM ,

在ΔADH與ΔDEM中,

∠ADH=∠DEM ,AD=DE, ∠AHD=∠DME

ΔADH≌ΔDEM(AAS),

EM=DH=3 , DM=AH=2,

CN=EM=3, EN=CM=3 ,

在ΔFNE與ΔDME中，

FE=DE,NE=EM,∠FNE=∠DME=

ΔFNE≌ΔDMEZ,FN= DM=2

CF=CN+ DM=5

∠ABC=45 ,∠BGC=45 ,

ΔBCG是等腰直角三角形,

CG=BC=4,

GN=1,

EG=.