Question

如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的面積是16．
（1）求正方形OABC的對角線的交點D的坐標；

（2）直線y=2x+8交x軸于E，交y軸于F，它沿x軸正方向以每秒移動1個單位長度的速度平移，設平移的時間為t秒，問是否存在t的
值，使直線EF平分正方形OABC的面積？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖，點P為正方形OABC的對角線AC上的動點（端點A、C除外），PM⊥PO，交直線AB于M，給出下列兩個結論：①的值不變；②的值不變；其中有且只有一個結論是正確的，請你選出正確的結論，予以證明并求其值．

Answer 1

解：（1）根據中點坐標求法可得D（2，2）．

（2）當y=0時，x=-4，∴E點的坐標為（-4，0）．
當直線EF平移到過D點時正好平分正方形AOBC的面積．
設平移后的直線為y=2x+b，代入D點坐標，求得b=-2．
此時直線和x軸的交點坐標為（1，0），平移的距離為5，所以t=5秒．

（3）的值不變．
過P點作NQ∥OA，GH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H．
易證△OPH≌△MPQ，四邊形CNPG為正方形．
∴PG=BQ=CN．
∴，即．
分析：（1）根據線段的中點坐標求法求解．
（2）E點的坐標為（-4，0），當直線EF平移到過D點時正好平分正方形AOBC的面積，設平移后的直線為y=2x+b，代入D點坐標，求得b=-2．可知平移的距離為5，所以t=5秒；
（3）過P點作NQ∥OA，GH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，易證△OPH≌△MPQ，四邊形CNPG為正方形．
可知PG=BQ=CN，即可求得．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．