Question

17．如圖，已知一次函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x+1的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C、D都在x軸的正半軸上，D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），若兩鈍角∠ABD=∠BCD；
（1）求直線BC的解析式：
（2）若P是直線BD上一點(diǎn)，且S_△CDP=$\frac{1}{2}$S_△CDB，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先由函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x+1求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)及BD的長，再根據(jù)∠ABD=∠BCD證△ABD∽△BCD，可得$\frac{AD}{BD}$=$\frac{BD}{CD}$，即可求得CD的長，即點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后由B、C坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求得BC解析式；
（2）先根據(jù)B、D坐標(biāo)求得直線BD解析式，即可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}$x+1），再根據(jù)S_△CDP=$\frac{1}{2}$S_△CDB可得DP=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，利用兩點(diǎn)間距離公式即可列出關(guān)于x的方程，求解后即可得點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{3}$x+1中，當(dāng)y=0時，x=-3；當(dāng)x=0時，y=1；
∴點(diǎn)A（-3，0）、點(diǎn)B（0，1），
又∵D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠ABD=∠BCD，∠ADB=∠BDC，
∴△ABD∽△BCD，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{BD}{CD}$，即$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{CD}$，
解得：CD=1，
∴點(diǎn)C（1，0），
設(shè)直線BC解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為：y=-x+1；

（2）設(shè)BD所在直線解析式為y=mx+n，
將點(diǎn)B（0，1）、D（2，0）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{2m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直線BD解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∵點(diǎn)P在直線BD上，
∴設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}$x+1），
∵S_△CDP=$\frac{1}{2}$S_△CDB，
∴DP=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即$\sqrt{（x-2）^{2}+（-\frac{1}{2}x+1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
整理，得：x²-4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{2}$）或（3，-$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式，根據(jù)等高情況下三角形面積間關(guān)系得出底邊的關(guān)系并列出方程求解是解題的關(guān)鍵．