Question

如圖1所示，直線y=x+4分別交x軸、y軸于點A、B，直線y=kx-k交線段AB于點C，交x軸于點D，且S_△ACD=5．
（1）求直線CD的解析式；
（2）直接寫出不等式x+4＞kx-k的解集

 

；
（3）如圖2所示，已知P（-1.5，2.5），Q為x軸上一動點，AT⊥PQ于T，且TH=AT，連接DH，當點Q運動時，∠DHP的大小是否變化？寫出你的結(jié)論，并證明．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點A的坐標，再求出點D的坐標，從而求出AD，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出點C的坐標，然后根據(jù)△ACD的面積列式求解得到k，即可得解；
（2）寫出點C的坐標，再根據(jù)函數(shù)圖象寫出直線AB在直線CD上方部分的x的取值范圍即可；
（3）連接PA、PD，利用勾股定理列式求出AP、PD，再求出AD，然后判斷出△APD是等腰直角三角形，過點D作DM⊥PQ于M，利用同角的余角相等求出∠APT=∠PDM，再利用“角角邊”求出△APT和△PDM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DM=PT，PM=AT，然后求出MH=DM，從而得到△MDH是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DHP=45°，值不變．

解答：解：（1）令y=0，則x+4=0，
解得x=-4，
∴點A（-4，0），
令y=0，則kx-k=0，
解得x=1，
∴點D（1，0），
∴AD=1-（-4）=1+4=5，
聯(lián)立

y=x+4 y=kx-k

，
解得

x= k+4 k-1 y= 5k k-1

，
∴S_△ACD=

1

2

×5×

5k

k-1

=5，
解得k=-

2

3

，
∴直線CD的解析式為y=-

2

3

x+

2

3

；

（2）∵k=-

2

3

，
∴

k+4

k-1

=-2，

5k

k-1

=2，
∴點C的坐標為（-2，2），
∴不等式x+4＞kx-k的解集x＞-2；
故答案為：x＞-2；

（3）如圖，連接PA、PD，
∵A（-4，0），D（1，0），P（-1.5，2.5），
∴AP=

(-1.5+4)2+2.52

=

5 2

2

，
PD=

(1+1.5)2+2.52

=

5 2

2

，
AD=5，
∵AP²+PD²=（

5 2

2

）²+（

5 2

2

）²=25=AD²，
∴△APD是等腰直角三角形，
過點D作DM⊥PQ于M，
則∠DPM+∠PDM=90°，∠APT+∠DPM=90°，
∴∠APT=∠PDM，
又∵AT⊥PQ，
∴∠ATP=∠PMD=90°，
在△APT和△PDM中，

∠APT=∠PDM ∠ATP=∠PMD=90° PA=PD

，
∴△APT≌△PDM（AAS），
∴DM=PT，PM=AT，
∵TH=AT，
∴MH=PM+PH=AT+PH=TH+PH=PT=DM，
∴△MDH是等腰直角三角形，
∴∠DHP=45°，
故∠DHP的大小不變化．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，三角形的面積，一次函數(shù)與不等式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點在于（3）作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形并求出∠DHP是等腰直角三角形的銳角．