Question

已知：函數(shù)y=-

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4

x²+x+a的圖象的最高點在x軸上．
（1）求a；
（2）如圖所示，設二次函數(shù)y=-

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4

x²+x+a圖象與y軸的交點為A，頂點為B，P為圖象上的一點，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點B，求P點的坐標；
（3）在（2）中，若圓與x軸另一交點C關(guān)于直線PB的對稱點為M，試探索點M是否在拋物線y=-

1

4

x²+x+a上？若在拋物線上，求出M點的坐標；若不在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)判別式得到關(guān)于a的方程，即可得到a的值；
（2）由于PB是圓的直徑，且AB切圓于B，得PB⊥AB，由此可證得△PBC₁∽△BAO，根據(jù)兩個相似三角形的對應直角邊成比例，即可得到PC₁、BC₁的比例關(guān)系，可根據(jù)這個比例關(guān)系來設P點的坐標，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點的坐標；
（3）連接CM，設CM與PB的交點為Q，由于C、M關(guān)于直線PB對稱，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；過M作MD⊥x軸于D，取CD的中點E，連接QE，則QE是Rt△CMD的中位線；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易證得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它們的正切值都等于

1

2

（在（2）題已經(jīng)求得）；由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已經(jīng)求出了CB的長，根據(jù)CE、BE的比例關(guān)系，即可求出BE、CE、QE的長，由此可得到Q點坐標，也就得到M點的坐標，然后將點M代入拋物線的解析式中進行判斷即可．

解答：解：（1）依題意有△=1+a=0，
解得a=-1；

（2）設P為二次函數(shù)圖象上的一點，過點P作PC⊥x軸于點C₁；
∵y=-

1

4

x²+x-1頂點為B（-2，0），圖象與y軸的交點坐標為A（0，-1），
∵以PB為直徑的圓與直線AB相切于點B，
∴PB⊥AB，則∠PBC₁=∠BAO
∴Rt△PC₁B∽Rt△BOA
∴

PC1

OB

=

BC1

AO

，故PC₁=2BC₁，
設P點的坐標為（x，y），
∵∠ABO是銳角，∠PBA是直角，
∴∠PBO是鈍角，
∴x＞2
∴BC₁=x-2，PC₁=2x-4，
即y=4-2x，
∴P點的坐標為（x，4-2x）
∵點P在二次函數(shù)y=-

1

4

x²+x+1的圖象上，
∴4-2x=-

1

4

x²+x-1，
解得：x₁=-2，x₂=10
∵x＞2，
∴x=10，
∴P點的坐標為：（10，-16）；

（3）點M不在拋物線y=-

1

4

x²+x+a上，
由（2）知：C₁為圓與x軸的另一交點，連接CM，CM與直線PB的交點為Q，過點M作x軸的垂線，垂足為D，取CD的中點E，連接QE，則CM⊥PB，且CQ=MQ，
∴QE∥MD，QE=

1

2

MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x軸
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=

1

2

，
CE=2QE=2×2BE=4BE，
又∵CB=8，
故BE=

8

5

，QE=

16

5

，
∴Q點的坐標為（

18

5

，-

16

5

）
可求得M點的坐標為（

14

5

，-

32

5

）
∵-

1

4

×（

14

5

）²+

14

5

-1=-

144

25

≠-

32

5

，
∴C點關(guān)于直線PB的對稱點M不在拋物線y=-

1

4

x²+x+a上．

點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形中位線定理，解直角三角形的應用等重要知識．