Question

已知：函數(shù)y=-

1

4

x²+x+a的圖象的最高點(diǎn)在x軸上．
（1）求a；
（2）如圖所示，設(shè)二次函數(shù)y=-

1

4

x²+x+a圖象與y軸的交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為B，P為圖象上的一點(diǎn)，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)B，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）中，若圓與x軸另一交點(diǎn)C關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)為M，試探索點(diǎn)M是否在拋物線y=-

1

4

x²+x+a上？若在拋物線上，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)判別式得到關(guān)于a的方程，即可得到a的值；
（2）由于PB是圓的直徑，且AB切圓于B，得PB⊥AB，由此可證得△PBC₁∽△BAO，根據(jù)兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)直角邊成比例，即可得到PC₁、BC₁的比例關(guān)系，可根據(jù)這個(gè)比例關(guān)系來(lái)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）連接CM，設(shè)CM與PB的交點(diǎn)為Q，由于C、M關(guān)于直線PB對(duì)稱，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；過(guò)M作MD⊥x軸于D，取CD的中點(diǎn)E，連接QE，則QE是Rt△CMD的中位線；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易證得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它們的正切值都等于

1

2

（在（2）題已經(jīng)求得）；由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已經(jīng)求出了CB的長(zhǎng)，根據(jù)CE、BE的比例關(guān)系，即可求出BE、CE、QE的長(zhǎng)，由此可得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，也就得到M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)M代入拋物線的解析式中進(jìn)行判斷即可．

解答：解：（1）依題意有△=1+a=0，
解得a=-1；

（2）設(shè)P為二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C₁；
∵y=-

1

4

x²+x-1頂點(diǎn)為B（-2，0），圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），
∵以PB為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)B，
∴PB⊥AB，則∠PBC₁=∠BAO
∴Rt△PC₁B∽R(shí)t△BOA
∴

PC1

OB

=

BC1

AO

，故PC₁=2BC₁，
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵∠ABO是銳角，∠PBA是直角，
∴∠PBO是鈍角，
∴x＞2
∴BC₁=x-2，PC₁=2x-4，
即y=4-2x，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，4-2x）
∵點(diǎn)P在二次函數(shù)y=-

1

4

x²+x+1的圖象上，
∴4-2x=-

1

4

x²+x-1，
解得：x₁=-2，x₂=10
∵x＞2，
∴x=10，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（10，-16）；

（3）點(diǎn)M不在拋物線y=-

1

4

x²+x+a上，
由（2）知：C₁為圓與x軸的另一交點(diǎn)，連接CM，CM與直線PB的交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為D，取CD的中點(diǎn)E，連接QE，則CM⊥PB，且CQ=MQ，
∴QE∥MD，QE=

1

2

MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x軸
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=

1

2

，
CE=2QE=2×2BE=4BE，
又∵CB=8，
故BE=

8

5

，QE=

16

5

，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

18

5

，-

16

5

）
可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

14

5

，-

32

5

）
∵-

1

4

×（

14

5

）²+

14

5

-1=-

144

25

≠-

32

5

，
∴C點(diǎn)關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)M不在拋物線y=-

1

4

x²+x+a上．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形中位線定理，解直角三角形的應(yīng)用等重要知識(shí)．