Question

16．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32，連接BD，AE⊥BD，垂足為E．
①求證：△ABE∽△DBC；
②求線段AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又因?yàn)椤螦EB=∠C=90°，所以可證△ABE∽△DBC；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可知，BD=2BE，根據(jù)△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可．

解答 （1）證明：∵AB=AD=25，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠C=90°，
∴△ABE∽△DBC；

（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，
∴BE=DE，
∴BD=2BE，
由△ABE∽△DBC，
得$\frac{AB}{BD}=\frac{BE}{BC}$，
∵AB=AD=25，BC=32，
∴$\frac{25}{2BE}=\frac{BE}{32}$，
∴BE=20，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)及勾股定理解題．