Question

【題目】如圖，直線y＝ax＋1（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與雙曲線y＝ 在第四象限的交點(diǎn)為C．若點(diǎn)B與點(diǎn)C 關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，且△BOC的面積為2．

（1）求a、k的值；

（2）問：在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】(1)a=-,k=-4；(2)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)分別為（,0），（-,0），（4+,0），（4-,0）.理由參見解析.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)C 關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，得出AB=AC,△OAB的面積等于△BOC面積的一半，且△BOC的面積為2．求出A點(diǎn)坐標(biāo)，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式就求出了a值，由A點(diǎn)坐標(biāo)可知C點(diǎn)橫坐標(biāo)，將C點(diǎn)橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出C點(diǎn)縱坐標(biāo)，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，就確定了k值；（2）運(yùn)用勾股定理先求出BC=2，當(dāng)BC=BP或者BC=CP時(shí)，只要在x軸上找到一點(diǎn)P，使這點(diǎn)和B點(diǎn)或者C點(diǎn)的距離等于2即符合條件；當(dāng)PB=PC時(shí)，因?yàn)锳B=AC，此時(shí)P點(diǎn)在經(jīng)過A點(diǎn)的BC的垂直平分線上，顯然P不在x軸上，這種情況不符合題意舍去，然后根據(jù)勾股定理及C點(diǎn)坐標(biāo)，P點(diǎn)在x軸的正負(fù)半軸寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

試題解析：（1）由圖像可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=ax+1=1，所以B（0,1），因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)C 關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，所以AB=AC,△OAB的面積等于△BOC面積的一半，且△BOC的面積為2．即×1×OA=1，解得OA=2，所以A（2,0），把A（2,0）代入y=ax+1，可得2a+1=0,解得a=-.又因?yàn)锳(2，0),所以C點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，代入y=-x+1,可得C點(diǎn)縱坐標(biāo)為-1，然后將C（4，-1）代入y=，得k=-4.故答案為a=-,k=-4；(2)由上題可知B（0,1），C（4,-1），由勾股定理求得BC=，當(dāng)BC=BP時(shí)，P點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)x軸上時(shí)，由勾股定理求得P10=，P20=-4，這兩個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-,0），（4-,0）.當(dāng)BC=BP時(shí)，P點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)x軸上時(shí)，由勾股定理求得P30=，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（,0）.當(dāng)BC=CP，P點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)x軸上時(shí)，求得P40=+4，當(dāng)PB=PC時(shí)，因?yàn)锳B=AC，此時(shí)P點(diǎn)在經(jīng)過A點(diǎn)的BC的垂直平分線上，顯然P不在x軸上，這種情況不符合題意舍去，綜上所述，符合條件的P點(diǎn)有4個(gè)，坐標(biāo)分別為（,0），（-,0），（4+,0），（4-,0）.