Question

已知點E、F在△ABC的邊AB所在的直線上，且AE=BF，F(xiàn)H∥EG∥AC，F(xiàn)H、EG分別交邊BC所在的直線于點H、G．
（1）如圖1，如果點E、F在邊AB上，那么EG+FH=AC；
（2）如圖2，如果點E在邊AB上，點F在AB的延長線上，那么線段EG、FH、AC的長度關系是

 

；
（3）如圖3，如果點E在AB的反向延長線上，點F在AB的延長線上，那么線段EG、FH、AC的長度關系是

 

．
對（1）（2）（3）三種情況的結論，請任選一個給予證明．

Answer 1

分析：（1）由FH∥EG∥AC，得，△BFH∽△BEG∽△BAC，得

BF

FH

=

BE

EG

=

BA

AC

，由比例的性質求解；
（2）過點E作EP∥BC交AC于P，由四邊形EPCG為平行四邊形，得EG=PC，證△BHF≌△EPA得HF=AP即可得到答案；
（3）方法同2．

解答：（1）證明：∵FH∥EG∥AC，
∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC．
∴

BF

FH

=

BE

EG

=

BA

AC

．
∴

BF+BE

FH+EG

=

BA

AC

．
又∵BF=EA，
∴

EA+BE

FH+EG

=

AB

AC

．
∴

AB

FH+EG

=

AB

AC

．
∴AC=FH+EG．

（2）線段EG、FH、AC的長度的關系為：EG+FH=AC．
證明（2）：過點E作EP∥BC交AC于P，
∵EG∥AC，
∴四邊形EPCG為平行四邊形．
∴EG=PC．
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP．
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA．
∴HF=AP．
∴AC=PC+AP=EG+HF．
即EG+FH=AC．

（3）線段EG、FH、AC的長度的關系為：EG-FH=AC．
如圖，過點A作AP∥BC交EG于P，
∵EG∥AC，
∴四邊形APGC為平行四邊形．
∴AC=PG．
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠E，∠FBH=∠ABC=∠PAE．
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA．
∴HF=EP．
∴AC=EG-EP=EG-HF．
即EG-FH=AC．

點評：本題利用了平行線的性質，全等三角形和相似三角形的判定和性質求解．