Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分別是AB，AC的中點．若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD₁E₁，設旋轉角為α（0<α≤180°），記直線BD₁與CE₁的交點為P．

（1）如圖1，當α=90°時，線段BD₁的長等于        ，線段CE₁的長等于        ；（直接填寫結果）

（2）如圖2，當α=135°時，求證：BD₁= CE₁，且BD₁⊥CE₁；

（3）①設BC的中點為M，則線段PM的長為        ；②點P到AB所在直線的距離的最大值為        ．（直接填寫結果）

 

Answer 1

解：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點，

∴AE=AD=2，

∵等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD₁E₁，設旋轉角為α（0＜α≤180°），

∴當α=90°時，AE₁=2，∠E₁AE=90°，

∴BD₁==2，E₁C==2；

故答案為：2，2；

（2）證明：當α=135°時，如圖2，

∵Rt△AD₁E是由Rt△ADE繞點A逆時針旋轉135°得到，

∴AD₁=AE₁，∠D₁AB=∠E₁AC=135°，

在△D₁AB和△E₁AC中

∵，

∴△D₁AB≌△E₁AC（SAS），

∴BD₁=CE₁，且∠D₁BA=∠E₁CA，

記直線BD₁與AC交于點F，

∴∠BFA=∠CFP，

∴∠CPF=∠FAB=90°，

∴BD₁⊥CE₁；

（3）解：①∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中點為M，

∴PM=BC，

∴PM==2，

故答案為：2；

②如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線于點G，

∵D₁，E₁在以A為圓心，AD為半徑的圓上，

當BD₁所在直線與⊙A相切時，直線BD₁與CE₁的交點P到直線AB的距離最大，

此時四邊形AD₁PE₁是正方形，PD₁=2，則BD₁==2，

故∠ABP=30°，

則PB=2+2，

故點P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=1+．

故答案為：1+．