Question

如圖，直角坐標(biāo)系中有直角梯形AOBC，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，AC∥OB，AC=6cm，AO=8cm，OB=12cm．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q都從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿B→O方向做勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)O處停止；點(diǎn)Q沿B→C→A方向做勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A處停止．若點(diǎn)P的速度是1cm/s，點(diǎn)Q的速度是3cm/s：
①運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻，以P、B、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？說(shuō)明理由．
②連接PQ，直線PQ是否能把梯形ACBO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？說(shuō)明理由．
（3）若P在線段OB上，Q在線段AC上，直線PQ在經(jīng)過(guò)梯形內(nèi)某點(diǎn)時(shí)，一定能將梯形分成面積相等的兩部分，請(qǐng)直接寫出該點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）作CD⊥OB于D，得到矩形OACD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OD=AC=6cm，CD=AO=8cm，那么BD=OB-OD=6cm，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求出BC=

BD2+CD2

=10cm；
（2）①由于BP∥CQ，所以當(dāng)BP=CQ時(shí)，以P、B、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．分0＜t≤

10

3

；

10

3

＜t＜

16

3

；

16

3

≤t≤12三種情況進(jìn)行討論；
②先分別求出梯形ACBO的周長(zhǎng)及面積，再求出直線PQ把梯形的周長(zhǎng)平分時(shí)的t值，將此時(shí)的t值代入求BPQC的面積，如果所求值是梯形ACBO面積的一半，說(shuō)明能夠；否則不能；
（3）設(shè)AC中點(diǎn)為E，OB中點(diǎn)為F，連結(jié)EF，過(guò)EF中點(diǎn)G的直線一定能將梯形分成面積相等的兩部分．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．

解答：解：（1）如圖，作CD⊥OB于D，則四邊形OACD是矩形，
OD=AC=6cm，CD=AO=8cm．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=OB-OD=6cm，CD=8cm，
∴BC=

BD2+CD2

=10cm；

（2）①∵BP∥CQ，
∴當(dāng)BP=CQ時(shí)，以P、B、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
如果0＜t≤

10

3

時(shí)，Q在線段BC上，顯然t不存在；
如果

10

3

＜t＜

16

3

時(shí)，Q在線段AC上，當(dāng)t=3t-10，即t=5時(shí)，以P、B、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
如果

16

3

≤t≤12時(shí)，Q在A點(diǎn)，當(dāng)當(dāng)BP=CA，即t=6時(shí)，以P、B、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
綜上所述，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在t=5s或6s，以P、B、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
②不存在，理由如下：
∵梯形ACBO的周長(zhǎng)和面積分別為：
周長(zhǎng)=6+8+12+10=36（cm），面積=

1

2

（6+12）×8=72（cm²）．
若當(dāng)線段PQ平分梯形ACBO的周長(zhǎng)時(shí)，Q在AC上，則BP+BC+CQ=

1

2

×36=18，
即t+3t=18，解得t=4.5，
此時(shí)，CQ=3t-10=3，BP=t=4.5，
梯形BPQC的面積為

1

2

（3+4.5）×8=30≠

1

2

×72=36．
∴不存在某一時(shí)刻t，使直線PQ能把梯形ACBO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分；

（3）設(shè)AC中點(diǎn)為E，OB中點(diǎn)為F，連結(jié)EF，過(guò)EF中點(diǎn)G的直線一定能將梯形分成面積相等的兩部分．
∵A（0，8），C（6，8），
∴AC中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，8），
∵O（0，0），B（12，0），
∴OB中點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，0），
∴EF中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（4.5，4）．
故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（4.5，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題，其中涉及到矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定，梯形的周長(zhǎng)與面積，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，綜合性較強(qiáng)，難度適中．進(jìn)行分類討論、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．