Question

如圖，在⊙O中，M是弦AB定的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線(xiàn)，與OM延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)C．
（1）求證：∠A=∠C；
（2）若OA=5，AB=8，求線(xiàn)段OC的長(zhǎng)．

Answer 1

如右圖所示，
（1）證明：連接OB，
∵BC是切線(xiàn)，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBM+∠CBM=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBM，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴OM⊥AB．
∴∠C+∠CBM=90°，
∴∠C=∠OBM，
∴∠A=∠C；

（2）解：∵∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，
∴△OMB∽△OBC，
∴，
又∵BM=AB=4，
∴OM==3，
∴OC=．
分析：（1）由于OA=OB，可知∠A=∠OBM，又M是AB中點(diǎn)，利用等腰三角形三線(xiàn)合一定理可知OC⊥AB，即可得∠C+∠CBM=90°，而B(niǎo)C是切線(xiàn)可得∠OBM+∠CBM=90°，即∠A+∠CBM=90°，利用等角的余角相等可得∠A=∠C；
（2）由（1）得∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，易證△OMB∽△OBC，即可得OB：OC=OM：OB，而B(niǎo)M=AB=4，根據(jù)勾股定理可求OM，進(jìn)而可求OC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形三線(xiàn)合一定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是連接OB，構(gòu)造直角三角形．