Question

18．如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4交矩形OACB于F與G，交x軸于D，交y軸于E．
（1）△ODE的面積為8；
（2）若∠FOG=45°，求矩形OACB的面積8．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求得OD=OE=4，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ODE=∠OED=45°，推出∠DOF=∠OGE，證得△DOF∽△EGO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DF•EG=OE•OD=16，過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GN⊥y軸于點(diǎn)N．根據(jù)勾股定理得到DF=$\sqrt{2}$b，GE=$\sqrt{2}$a，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=-x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，
∴D（4，0），E（0，4），
∴OD=OE=4，
∴△ODE的面積=$\frac{1}{2}$OD•OE=$\frac{1}{2}$×4×4=8；
故答案為：8；

（2）∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED=45°；
∴∠OGE=∠ODF+∠DOG=45°+∠DOG，
∵∠EOF=45°，
∴∠DOF=∠EOF++∠DOG=45°+∠DOG，
∴∠DOF=∠OGE，
∴△DOF∽△EGO，
∴$\frac{DF}{OE}$=$\frac{OD}{EG}$，
∴DF•EG=OE•OD=16，
過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GN⊥y軸于點(diǎn)N．
∴△DMF和△ENG是等腰直角三角形，
∵NG=AC=a，F(xiàn)M=BC=b，
∴DF=$\sqrt{2}$b，GE=$\sqrt{2}$a，
∴DF•GE=2ab，
∴2ab=16，
∴ab=8，
∴矩形OACB的面積=ab=8．
故答案為8．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形相似的判定和性質(zhì)找出輔助線構(gòu)建等腰直角三角形，求得DF=$\sqrt{2}$b，GE=$\sqrt{2}$a是解題的關(guān)鍵．