Question

【題目】如圖，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，把沿直線(xiàn)翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)在直線(xiàn)上．

證明四邊形是菱形，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；

求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和函數(shù)表達(dá)式；

在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使得與的面積相等？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析，點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為；存在．理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，勾股定理，翻折的性質(zhì)可得，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式可得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，設(shè)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的解析式為，根據(jù)待定系數(shù)法可求的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（3）分點(diǎn)在的上面和點(diǎn)在的下面兩種情況，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可求點(diǎn)的坐標(biāo).

證明：∵，，，

∴，，

∴，

由翻折可得，，，

∴，

∴四邊形是菱形，

∴，

∵，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；

∵，

∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)．

設(shè)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的解析式為，

∴，

解得．

∴．

∵點(diǎn)在直線(xiàn)上，

∴．

又∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，

∴，

解得．

∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為；

存在．

理由如下：由題意可知，在拋物線(xiàn)上，且到，所在直線(xiàn)距離相等，所以在二次函數(shù)與、所在的直線(xiàn)的夾角平分線(xiàn)的交點(diǎn)上，而、所在的直線(xiàn)的夾角平分線(xiàn)有兩條：一條是所在的直線(xiàn)，解析式為，另外一條是過(guò)且與平行的直線(xiàn)，解析式為，

聯(lián)立，

解得：（舍）或，

聯(lián)立，

解得：（舍）或

所以當(dāng)與的面積相等，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．