Question

在△ABC中，∠ACB=90°，以AB、BC為邊向△ABC外分別作正方形CBHF和正方形ACDE，連接DF，過點C作CG⊥AB，垂足為G，且CG的反向延長線與DF交于點I．
（1）求證：CI=

1

2

AB=

1

2

DF；
（2）當∠ACB≠90°時，以上結論成立嗎？若不成立，關系又怎樣？
（3）若∠ACB是鈍角，且分別向△ABC的形內(nèi)作正方形ACDE及BCFH．問：此時線段CI與AB間的數(shù)量關系如何？
①CI是否平分DF？
②線段CI與

1

2

AB是否相等？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證△DCF≌△ACB，可得∠CDF=∠CAB，∠CFD=∠CBA，DF=AB，即可證明∠ICD=∠IDC，可得CI=IF，即可解題；
（2）CI=

1

2

AB，CI≠

1

2

DF；理由：過D作DM∥CF交GC延長線于點M，易證∠CAG=∠DCM和∠MDC=∠ACB，即可證明△ACB≌△CDM，可得DM=BC，AB=CM，即可證明△DMI≌△FCI，可得CI=MI，即可解題；
（3）過F作MP∥CD，交AC于點M，交CI延長線于點P，易證∠CAB=∠CPF和∠ACB=∠PFC，即可證明△ACB≌△PFC，可得PF=AC，AB=PC，即可證明四邊形CDPF為平行四邊形，即可解題．

解答：證明：（1）∵△DCF和△ACB中，

AC=CD ∠DCF=∠ACB CF=CB

，
∴△DCF≌△ACB，（SAS）
∴∠CDF=∠CAB，∠CFD=∠CBA，DF=AB，
∵CG⊥AB，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠BCG=∠CAG，
∴∠ICD=∠IDC，
∴DI=CI，∠ICF=∠IFC，
∴CI=IF，
∴I是DF中點，
∴CI=

1

2

AB=

1

2

DF；
（2）CI=

1

2

AB，CI≠

1

2

DF；
理由：過D作DM∥CF交GC延長線于點M，如圖1，

∵∠CAG+∠ACG=90°．∠ACG+∠DCM=90°，
∴∠CAG=∠DCM，
∵∠MDC+∠DCF=180°，∠ACB+∠DCF=180°，
∴∠MDC=∠ACB，
∵在△ACB和△CDM中，

∠CAG=∠DCM AC=CD ∠ACB=∠MDC

，
∴△ACB≌△CDM，（ASA）
∴DM=BC，AB=CM，
∴DM=CF，
∵DM∥CF，
∴∠M=∠ICF，∠MDI=∠IFC，
∵在△DMI和△FCI中，

∠M=∠ICF DM=CF ∠MDI=∠IFC

，
∴△DMI≌△FCI，（ASA）
∴CI=MI，
∴CI=

1

2

AB；
（3）過F作MP∥CD，交AC于點M，交CI延長線于點P，如圖2，

∵PM∥CD，CD⊥AC，
∴PM⊥AC，
∴∠CPF+∠PCA=90°，
∵∠CAB+∠ACP=90°，
∴∠CAB=∠CPF，
∵∠CFM+∠MCF=90°，∠CFM+∠PFH=90°，
∴∠PFH=∠MCF，
∵∠BCF=∠CFH=90°，
∴∠ACB=∠PFC，
∵在△ACB和△PFC中，

∠CAB=∠CPF ∠ACB=∠PFC CF=CB

，
∴△ACB≌△PFC，（AAS）
∴PF=AC，AB=PC，
∵AC=CD，
∴PF=CD，
∴四邊形CDPF為平行四邊形，
∴CI平分DF，CI=

1

2

PC，
∴CI=

1

2

AB．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中每一問構建全等三角形并求證是解題的關鍵．