Question

如圖，拋物線y=ax²+bx﹣經過點A（1，0）和點B（5，0），與y軸交于點C．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）以點A為圓心，作與直線BC相切的⊙A，求⊙A的半徑；

（3）在直線BC上方的拋物線上任取一點P，連接PB，PC，請問：△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值的此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

解答： 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx﹣經過點A（1，0）和點B（5，0），

∴把A、B兩點坐標代入可得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x²+2x﹣；

（2）過A作AD⊥BC于點D，如圖1，

∵⊙A與BC相切，

∴AD為⊙A的半徑，

由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0），

∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=，

在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC===，

∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，

∴△ABD∽△CBO，

∴=，即=，解得AD=，

即⊙A的半徑為；

（3）∵C（0，﹣），

∴可設直線BC解析式為y=kx﹣，

把B點坐標代入可求得k=，

∴直線BC的解析式為y=x﹣，

過P作PQ∥y軸，交直線BC于點Q，交x軸于點E，如圖2，

設P（x，﹣x²+2x﹣），則Q（x，x﹣），

∴PQ=（﹣x²+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣x²+x=﹣（x﹣）²+，

∴S_△PBC=S_△PCQ+S_△PBQ=PQ•OE+PQ•BE=PQ（OE+BE）=PQ•OB=PQ=﹣（x﹣）²+，

∴當x=時，S_△PBC有最大值，此時P點坐標為（，），

∴當P點坐標為（，）時，△PBC的面積有最大值．