Question

2．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若將矩形折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則EF（　�。�

• A． $\frac{7}{4}$
• B． $\frac{15}{4}$
• C． $\frac{15}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)就可以求出AG=CD，AF=CF，GE=DE，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C=90°．由矩形的性質(zhì)和勾股定理就可以求出DE，再由△ABF∽△AGE，就可以求出BF的值，在Rt△FHE中由勾股定理就可以求出EF的值．

解答 解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，
∴∠EHC=∠EHF=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，AB=CD，AD=BC，
∵AB=3，BC=4，
∴CD=3，AD=4，
∴∠EHC=∠C=∠D=90°，
∴四邊形EHCD是矩形，
∴EH=CD，ED=CH，
∵四邊形AFEG與四邊形CFED關(guān)于EF對(duì)稱，
∴四邊形AFEG≌四邊形CFED，
∴AG=CD=3，AF=CF，GE=DE，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C=90°，
設(shè)ED=x，則GE=x，AE=4-x，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：
9+x²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
∴AE=$\frac{25}{8}$，
∵∠GAE+∠FAE=∠FAE+∠BAF=90°，
∴∠GAE=∠BAF，
∵∠G=∠B=90°，
∴△ABF∽△AGE，
∴$\frac{AB}{AG}$=$\frac{BF}{GE}$，
∴$\frac{3}{3}$=$\frac{BF}{\frac{7}{8}}$，
∴BF=$\frac{7}{8}$，
∴FH=4-$\frac{7}{8}$-$\frac{7}{8}$=$\frac{9}{4}$，
在Rt△FHE中，由勾股定理得：
EF=$\frac{15}{4}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，矩形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用勾股定理求解是關(guān)鍵．