Question

13．已知：如圖，數(shù)軸的單位長度為a，在△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．
（1）用直尺和圓規(guī)作出△ABC，使點A、C在數(shù)軸上（要求：保留痕跡，指出所求）；
（2）記△ABC的外接圓的面積為S_圓，△ABC的面積為S_△ABC，求證：$\frac{{S}_{圓}}{{S}_{△ABC}}$＞π．

Answer 1

分析 （1）在數(shù)軸上截取線段AC=5a，分別以A、C為圓心，3a、4a為半徑畫弧，兩弧交于點B，△ABC即為所求．
（2）分別求出△ABC外接圓面積，△ABC面積即可解決問題．

解答 解；（1）下圖中，△ABC即為所求．

（2）證明：如圖2中，

∵AC=5a，AB=3a，BC=4a，
∴AC²=AB²+BC²，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC外接圓的直徑就是AC，
∴S_圓=π•（$\frac{AC}{2}$）²=（$\frac{5a}{2}$）²π=$\frac{25{a}^{2}}{4}$π．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=6a²，
∴$\frac{{S}_{圓}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{25{a}^{2}}{4}π}{6{a}^{2}}$=$\frac{25}{24}$π＞π．

點評 本題考查尺規(guī)作圖、勾股定理逆定理、數(shù)軸、三角形外接圓等知識，解題的關(guān)鍵是判斷△ABC是直角三角形，屬于中考常考題型．