Question

觀察下列等式
①

1+ 1 12 + 1 22

=1+

1

1

-

1

2

，②

1+ 1 22 + 1 32

=1+

1

2

-

1

3

，③

1+ 1 32 + 1 42

=1+

1

3

-

1

4

，…，
（1）請猜想第10個等式為

 

④；第n個等式為

 

⑤；
（2）試?yán)�用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 992 + 1 1002

；
（3）請證明⑤式的正確性．

Answer 1

考點(diǎn)：算術(shù)平方根

專題：規(guī)律型

分析：（1）觀察等式中的規(guī)律，可得第10個等式，第n個等式的答案；
（2）根據(jù)規(guī)律進(jìn)行加減運(yùn)算，可得答案；
（3）根據(jù)規(guī)律，湊成完全平方公式，可得平方的形式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．

解答：（1）解：

1+ 1 102 + 1 112

=1+

1

10

-

1

11

，

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

，
（2）解：原式=1+1-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+1+

1

3

-

1

4

+1+

1

4

-

1

5

+…+1+

1

98

-

1

99

+1+

1

99

-

1

100

=1+1-

1

100

=99

99

100

；

（3）證明：

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

1+ 1 n2 - 2 n(n+1) + 1 (n+1)2 + 2 n(n+1)

=

1+ 2 n(n+1) +( 1 n - 1 n+1 )2

=

1+ 2 n(n+1) +[ 1 n(n+1) ]2

=

(1+ 1 n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查了算術(shù)平方根，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

，湊成公式的形式是解題關(guān)鍵．