Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) ，頂點(diǎn)為A．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OA、OP．
①當(dāng)OA⊥OP時(shí)，求OP的長(zhǎng)；
②過(guò)點(diǎn)P作OP的垂線(xiàn)交對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，聯(lián)結(jié)OB，當(dāng)∠OAP=∠OBP時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解： 拋物線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) ， ．
頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）
（2）解：設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與 軸的交點(diǎn)為E．①如圖，

在直角三角形AOE和直角三角形POE中，
;
②如圖，過(guò)點(diǎn)B作AP的垂線(xiàn)，垂足為F，

設(shè)點(diǎn) ，
在 和 中，

整理得： 解得 （舍）．
【解析】（1）拋物線(xiàn) y = a x 2 + x 的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) x = 2可列關(guān)于a的方程，拋物線(xiàn)的表達(dá)式可求；根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）①在直角三角形AOE和直角三角形POE中，根據(jù)已知條件可證兩個(gè)三角形相似，從而得到成比例線(xiàn)段，OP的長(zhǎng)可求；②過(guò)點(diǎn)B作AP的垂線(xiàn)，垂足為F，可證△BPF△PO，從而得到成比例線(xiàn)段，a的值可求，點(diǎn)B的坐標(biāo)亦可求。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．