Question

20．如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=∠90°，D為AB邊上一點．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）若AD=12，BD=5，求ED的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求出AC=BC，EC=DC，再證明∠ACD=∠BCE=90°-∠CDB，根據(jù)全等三角形的判定推出即可．
（2）根據(jù)全等推出∠CAD=∠CBE，AD=BE=12，再證明∠DBE=90°，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答 （1）證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=∠90°，
∴AC=BC，EC=DC，
∴∠ACD=∠BCE=90°-∠CDB，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠EBC，AD=BE=12，
∵∠CAD=∠EBC=45°，
∴∠DBE=45°+45°=90°，
在Rt△DBE中，由勾股定理得：ED=$\sqrt{B{E}^{2}+B{D}^{2}}$=13．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△ACD≌△BCE和求出∠DBE=90°，難度適中．