Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC、BC．
（1）點C的坐標是

 

；
（2）求拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）的解析式；
（3）若點P在拋物線上，且點P與△ABC的兩個頂點所構成的三角形面積S=S_△ABC，請求出滿足條件的所有點P的坐標．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數圖象上點的坐標特征,待定系數法求二次函數解析式

專題：

分析：（1）因為點C的橫坐標等于零，且點C位于拋物線上，所以令y=0，則求得點C的縱坐標；
（2）將A（1，0）、B（4，0）點坐標代入拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）中，列方程組求a、b的值即可；
（3）所求的P的縱坐標與點C的縱坐標的絕對值相等，所以把相應的y值代入函數解析式來求x的值．

解答：解：（1）如圖，∵點C在拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）上，
∴當x=0時，y=2，
∴C（0，2）；
故答案是：（0，2）；

（2）A（1，0）、B（4，0）兩點代入y=ax²+bx+2，得

a+b+2=0 16a+4b+2=0

，
解得

a= 1 2 b=- 5 2

．
則該拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（3）情況一：當S_△PAB=S_△ABC時．點P是平行于x軸且到x軸的距離為2的直線與拋物線的交點．如圖1所示．
∵C（0，2），S=S_△ABC，
∴設P（x，2）或（x，-2）．
①當點P的坐標是（x，2）時，2=

1

2

x²-

5

2

x+2
解得 x=0或x=5．
則點P的坐標是（0，2）（與點C重合）或（5，2）；
②當點P的坐標是（x，-2）時，-2=

1

2

x²-

5

2

x+2，
∵△＜0，
∴該方程無解，即不存在這樣的點P．
情況二：當S_△PBC=S_△ABC時．點P是平行于BC且到BC的距離為點A到BC的距離的直線與拋物線的交點．如圖2所示．
易求符合條件的點P的坐標為：（1，0），（3，-1），（2+

7

，

5- 7

2

），（2-

7

，

5+ 7

2

）；
情況三：當S_△PAC=S_△ABC時．點P是平行于AC且到AC的距離為點B到AC的距離的直線與拋物線的交點．過點B與AC平行的直線解析式為y=-2x+8，與拋物線聯(lián)立方程組可求得兩根分別為4和-3，此時兩點坐標分別為（4，0）（-3，14）
此時當點P與點B重合時，符合題意．
綜上所述，符合條件的點P的坐標是：（0，2）或（5，2）或（1，0），（（3，-1）或（2+

7

，

5- 7

2

）或
（2-

7

，

5+ 7

2

）或（4，0）或（-3，14）．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數圖象上點的坐標特征以及待定系數法求二次函數解析式．解答（3）題時，要分類討論．