Question

20．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，N為AB上一點，且AN=2，∠BAC的平分線交BC于點D，M是AD上的動點，連結BM、MN，則BM+MN的最小值是2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 要求BM+MN的最小值，需考慮通過作輔助線轉化BM，MN的值，從而找出其最小值求解．

解答 解：連接CN，與AD交于點M．則CN就是BM+MN的最小值．
取BN中點E，連接DE．
∵等邊△ABC的邊長為6，AN=2，
∴BN=AC-AN=6-2=4，
∴BE=EN=AN=2，
又∵AD是BC邊上的中線，
∴DE是△BCN的中位線，
∴CN=2DE，CN∥DE，
又∵N為AE的中點，
∴M為AD的中點，
∴MN是△ADE的中位線，
∴DE=2MN，
∴CN=2DE=4MN，
∴CM=$\frac{3}{4}$CN．
在直角△CDM中，CD=$\frac{1}{2}$BC=3，DM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴CM=$\sqrt{C{D}^{2}+M{D}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴CN=$\frac{4}{3}$．
∵BM+MN=CN，
∴BM+MN的最小值為2$\sqrt{7}$．
故答案為：2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，等腰三角形的性質等知識點的綜合運用．