Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與拋物線交于另一點(diǎn).已知，.

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）如圖1，若點(diǎn)是軸下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，且.點(diǎn)為第四象限內(nèi)一點(diǎn)，且在直線上方，連接、、.記，.當(dāng)取得最大值時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值.

（3）如圖2，將點(diǎn)沿直線方向平移13個(gè)長(zhǎng)度單位到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，連接、，再將沿直線翻折為（點(diǎn)、、、在同一平面內(nèi)），連接、、，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）拋物線： 直線： （2） （3）

【解析】

（1）求出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出拋物線與直線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)，對(duì)稱軸為：，根據(jù)相似三角形的判定方法得到與相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出取得最大值時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值.

（3）分三種情況進(jìn)行討論即可.

（1）令

.

又

把點(diǎn)A、B分別代入中，得

解得：

把點(diǎn)A代入直線中，得

，

拋物線的解析式為：，

直線的解析式為：

（2）設(shè)點(diǎn)，對(duì)稱軸為：，由題意，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)的值一定小于點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)的值，所以.

令

作軸交直線與點(diǎn),則與相似。

所以

當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，點(diǎn).

此時(shí)點(diǎn)，.

把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，得.

此時(shí)

當(dāng)點(diǎn)、、、共線時(shí)，取最小值.

作，則,，

，

的最小值為

（3）