Question

10．如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y=a（x+1）²-4分別與x軸相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（0，-3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）判斷△BCM是否為直角三角形，并說(shuō)明理由．
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)N（點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合），使得以點(diǎn)A，B，C，N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）由拋物線解析式確定出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，用勾股定理的逆定理即可；
（3）根據(jù)題意判斷出點(diǎn)N只能在x軸上方的拋物線上，由已知四邊形的面積相等轉(zhuǎn)化出S_△ABN=S_△BCM，然后求出三角形BCM的面積，再建立關(guān)于點(diǎn)N的坐標(biāo)的方程求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=a（x+1）²-4與y軸相交于點(diǎn)C（0，-3）．
∴-3=a-4，
∴a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）²-4=x²+2x-3，
（2）△BCM是直角三角形
理由：由（1）有，拋物線解析式為y=（x+1）²-4，
∵頂點(diǎn)為M的拋物線y=a（x+1）²-4，
∴M（-1，-4），
由（1）拋物線解析式為y=x²+2x-3，
令y=0，
∴x²+2x-3=0，
∴x₁=-3，x₂=1，
∴A（1，0），B（-3，0），
∴BC²=9+9=18，CM²=1+1=2，BM²=4+16=20，
∴BC²+CM²=BM²，
∴△BCM是直角三角形，
（3）存在，N（-1+$\frac{\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{2}$）或N（-1-$\frac{\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵以點(diǎn)A，B，C，N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等，且點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，
∴①點(diǎn)N在x軸上方的拋物線上，
如圖，

由（2）有△BCM是直角三角形，BC²=18，CM²=2，
∴BC=3$\sqrt{2}$，CM=$\sqrt{2}$，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}$BC×CM=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=3，
設(shè)N（m，n），
∵以點(diǎn)A，B，C，N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等，
∴S_△ABN+S_△ABC=S_△BCM+S_△ABC，
∴S_△ABN=S_△BCM=3，
∵A（1，0），B（-3，0），
∴AB=4，
∴S_△ABN=$\frac{1}{2}$×AB×n=$\frac{1}{2}$×4×n=2n=3，
∴n=$\frac{3}{2}$，
∵N在拋物線解析式為y=x²+2x-3的圖象上，
∴m²+2m-3=$\frac{3}{2}$，
∴m₁=-1+$\frac{\sqrt{22}}{2}$，m₂=-1-$\frac{\sqrt{22}}{2}$，
∴N（-1+$\frac{\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{2}$）或N（-1-$\frac{\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
②如圖2，

②點(diǎn)N在x軸下方的拋物線上，
∵點(diǎn)C在對(duì)稱軸的右側(cè)，
∴點(diǎn)N在對(duì)稱軸右側(cè)不存在，只有在對(duì)稱軸的左側(cè)，
過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC，交拋物線于點(diǎn)N，
∵B（-3，0），C（0，-3），
∴直線BC解析式為y=-x-3，
設(shè)MN的解析式為y=-x+b
∵拋物線解析式為y=（x+1）²-4①，
∴M（-1，-4），
∴直線MN解析式為y=-x-5②，
聯(lián)立①②得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$（舍），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴N（-2，-3），
即：N（-1+$\frac{\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{2}$）或N（-1-$\frac{\sqrt{22}}{2}$，$\frac{3}{2}$）或N（-2，-3）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，直角三角形的判斷，圖形面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是判斷出△BCM是直角三角形，難點(diǎn)是要兩個(gè)四邊形面積相等，點(diǎn)N分在x軸上方的拋物線上和下方的拋物線上，用方程的思想解決問(wèn)題是解決（3）的關(guān)鍵，也是初中階段常用的方法．