Question

16．已知正比例函數(shù)y=4x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，m），反比例函數(shù)圖象有一點(diǎn)P使得三角形ABP的面積為40，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)正比例函數(shù)y=4x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，m），求得m=4×1=4，k=1×4=4，進(jìn)而得出反比例函數(shù)為y=$\frac{4}{x}$，再設(shè)點(diǎn)P（m，$\frac{4}{m}$），分兩種情況進(jìn)行討論：①P在AB右側(cè)，②P在AB左側(cè)，分別構(gòu)造矩形，根據(jù)割補(bǔ)法列出關(guān)于m的方程，求得m的值，即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：∵正比例函數(shù)y=4x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，m），
∴m=4×1=4，k=1×4=4，
∴反比例函數(shù)為y=$\frac{4}{x}$，
設(shè)點(diǎn)P（m，$\frac{4}{m}$），
①當(dāng)P在AB右側(cè)時(shí)，如圖所示，構(gòu)造矩形BCDE，

根據(jù)△ABP面積=矩形BCDE面積-△ABE面積-△BCP面積-△ADP面積，可得
8（m+1）-$\frac{1}{2}$×2×8-$\frac{1}{2}$×（m+1）×（$\frac{4}{m}$+4）-$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{4}{m}$）×（m-1）=40，
解得m=$\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{5-3\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{4}{m}$=-20+12$\sqrt{3}$或-20-12$\sqrt{3}$，
∴P（$\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$，-20+12$\sqrt{3}$）或（$\frac{5-3\sqrt{3}}{2}$，-20-12$\sqrt{3}$）；
②當(dāng)P在AB左側(cè)時(shí)，如圖所示，構(gòu)造矩形BCDE，

根據(jù)△ABP面積=矩形BCDE面積-△PBE面積-△BCA面積-△ADP面積，可得
2（$\frac{4}{m}$+4）-$\frac{1}{2}$×（m+1）×（$\frac{4}{m}$+4））-$\frac{1}{2}$×2×8-$\frac{1}{2}$×（$\frac{4}{m}$-4）×（1-m）=40，
解得m=-5+$\sqrt{26}$或-5-$\sqrt{26}$，
∴$\frac{4}{m}$=20+4$\sqrt{26}$或20-4$\sqrt{26}$，
∴P（-5+$\sqrt{26}$，20+4$\sqrt{26}$）或（-5-$\sqrt{26}$，20-4$\sqrt{26}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造矩形進(jìn)行求解．解題時(shí)注意：若坐標(biāo)平面內(nèi)的三角形的各邊與坐標(biāo)軸都不垂直時(shí)，需要運(yùn)用割補(bǔ)法求解．