Question

2．將正方形ABCD（如圖1）作如下劃分：
第1次劃分：分別連接正方形ABCD對邊的中點（如圖2），得線段HF和EG，它們交于點M，此時圖2中共有5個正方形；
第2次劃分：將圖2左上角正方形AEMH再作劃分，得圖3，則圖3中共有9個正方形；
（1）若每次都把左上角的正方形一次劃分下去，則第100次劃分后，圖中共有401個正方形；
（2）繼續(xù)劃分下去，第幾次劃分后能有805個正方形？寫出計算過程．
（3）能否將正方形性ABCD劃分成有2015個正方形的圖形？如果能，請算出是第幾次劃分，如果不能，需說明理由．
（4）如果設原正方形的邊長為1，通過不斷地分割該面積為1的正方形，并把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，可以很容易得到一些計算結(jié)果，試著探究求出下面表達式的結(jié)果吧．
計算$\frac{3}{4}$（1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$）．（直接寫出答案即可）

Answer 1

分析 （1）由第一次可得5個正方形，第二次可得9個正方形，第三次可得13個正方形，可得規(guī)律：第n次可得（4n+1）個正方形，繼而求得答案；
（2）由規(guī)律可得方程4n+1=805，繼而求得答案；
（3）由規(guī)律可得4n+1=2015，又由n為整數(shù)，可求得答案；
（4）此題可看作上面幾何體面積問題，即可求得答案．

解答 解：（1）∵第一次可得5個正方形，第二次可得9個正方形，第三次可得13個正方形，
∴第n次可得（4n+1）個正方形，
∴第100次可得正方形：4×100+1=401（個）；
故答案為：401；

（2）根據(jù)題意得：4n+1=805，
解得：n=201；
∴第201次劃分后能有805個正方形；

（3）不能，
∵4n+1=2015，
解得：n=503.5，
∴n不是整數(shù)，
∴不能將正方形性ABCD劃分成有2015個正方形的圖形；

（4）結(jié)合題意得：$\frac{3}{4}$（1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$）=$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{3}{{4}^{n+1}}$=（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{{4}^{2}}$）+（$\frac{1}{{4}^{2}}$-$\frac{1}{{4}^{3}}$）+…+（$\frac{1}{{4}^{n}}$-$\frac{1}{{4}^{n+1}}$）=1-$\frac{1}{{4}^{n+1}}$．

點評 此題考查了規(guī)律問題．注意根據(jù)題意得到規(guī)律：第n次可得（4n+1）個正方形是解此題的關(guān)鍵．