Question

7．若把一組鄰邊的平方和與一條對(duì)角線的平方相等的四邊形叫做勾股四邊形，則矩形、直角梯形都是勾股四邊形．如圖，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，且∠BCD=30°．
（1）求證：四邊形ABCD是勾股四邊形；
（2）若BC=6，CD=8，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明DC²+BC²=AC²，只需證明∠DCE=90°．
（2）由DC²+BC²=AC²，求出AC，即可得出DE的長．

解答 （1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴EC=BC=BE，即△BCE是等邊三角形，
∴∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²．
即四邊形ABCD是勾股四邊形．
（2）解：由（1）得：DC²+BC²=AC²，DE=AC，
∴DE=AC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明∠DCE=90°是解決問題的關(guān)鍵．