Question

12．已知關(guān)于x的方程x²-2（a+b）x+c²+2ab=0有兩個相等的實數(shù)根，其中a、b、c為△ABC的三邊長．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若CD是AB邊上的高，AC=2，BD=3，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式等于0可得出三邊的關(guān)系，繼而可判斷出三角形的形狀；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，可證△ACD∽△ABC得$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{2}{AD+3}$=$\frac{AD}{2}$，解之可得答案．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形，
∵方程x²-2（a+b）x+c²+2ab=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=4（a+b）²-4（c²+2ab）=0，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵CD是AB邊上的高，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
則$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{2}{AD+3}$=$\frac{AD}{2}$，
解得：AD=1或AD=-4（舍），
故AD=1．

點評 本題考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵