Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，點E在CB邊上，以每秒1個單位的速度從點C向點B運動，運動時間為t（s），過點E作AB的平行線，交AC邊于點D，以DE為邊向上作等邊△DEF，設(shè)△ABC與△DEF重疊部分的面積為S．
（1）當點F恰好落在AB邊上時，求t的值；
（2）當t為何值時，S有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）由于ED∥AB，得出∠EDC=30°，解直角三角形得出ED=FD=2t，CD=$\sqrt{3}$t，進而求得AD=AC-CD=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，由等邊三角形的性質(zhì)求得∠ADF=90°，解直角三角形求得AD=$\sqrt{3}$DF=2$\sqrt{3}$t，從而得出5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=2$\sqrt{3}$t，解方程即可求得；
（2）分兩種情況，當0＜t≤$\frac{5}{3}$時，S就是等邊三角形DEF的面積；當$\frac{5}{3}$＜t＜5時，S就是等邊三角形DEF的面積減去等邊三角形GHF的面積，再利用配方法寫成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值；

解答 解：（1）如圖1，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，DE∥AB，
∴∠CDE=∠A=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=5$\sqrt{3}$，
∵EC=t，
∴ED=FD=2t，CD=$\sqrt{3}$t，
∴AD=AC-CD=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∵△DEF是等邊三角形，
∴∠EDF=60°，
∴∠ADF=90°，
∴AD=$\sqrt{3}$FD=2$\sqrt{3}$t，
∴5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=2$\sqrt{3}$t，
解得t=$\frac{5}{3}$；
（2）當0＜t≤$\frac{5}{3}$時，S=$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2t=$\sqrt{3}$t²，
當$\frac{5}{3}$＜t＜5時，∵AD=AC-CD=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴DG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=5-t，
∵ED=DF=2t，
∴FG=2t-（5-t）=3t-5，
∵ED∥AB，
∴∠FHG=∠FGH=∠EDF=60°，
∴△GFH是等邊三角形，
∴S═$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2t-$\frac{1}{2}$（3t-5）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（3t-5）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2t）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（3t-5）²=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$（t-3）²+5$\sqrt{3}$，
∴t=3時，S有最大值5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)等，綜合性較強，有一定難度．