Question

如圖4，已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過點A（2，0），B（6，0），交y軸于點C，且S_△ABC=16．
（1）求點C的坐標；
（2）求拋物線的解析式及其對稱軸；
（3）若正方形DEFG內(nèi)接于拋物線和x軸（邊FG在x軸上，點D，E分別在拋物線上），求S_{正方形DEFG}．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）由A（2，0），B（6，0），可得AB=6-2=4．由S_△ABC=16，根據(jù)三角形的面積公式得出

1

2

×4•OC=16，求出OC=8，于是得到點C的坐標為（0，8）；
（2）由拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過點A（2，0），B（6，0），可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-6），再將C（0，8）代入，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式為y=

2

3

x²-

16

3

x+8，進而得到對稱軸為直線x=4；
（3）設(shè)正方形DEFG的邊長為m，則m＞0，根據(jù)題意得出D（4-

1

2

m，-m），E（4+

1

2

m，-m）．將E（4+

1

2

m，-m）代入y=

2

3

x²-

16

3

x+8，得-m=

2

3

×（4+

1

2

m）²-

16

3

×（4+

1

2

m）+8，解方程求出m的值，進而得到S_{正方形DEFG}．

解答：解：（1）∵A（2，0），B（6，0），
∴AB=6-2=4．
∵S_△ABC=16，
∴

1

2

×4•OC=16，
∴OC=8，
∴點C的坐標為（0，8）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過點A（2，0），B（6，0），
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-6），
將C（0，8）代入，得8=12a，
解得a=

2

3

，
∴y=

2

3

（x-2）（x-6）=

2

3

x²-

16

3

x+8，
故拋物線的解析式為y=

2

3

x²-

16

3

x+8，其對稱軸為直線x=4；

（3）設(shè)正方形DEFG的邊長為m，則m＞0，
∵正方形DEFG內(nèi)接于拋物線和x軸（邊FG在x軸上，點D，E分別在拋物線上），
∴D（4-

1

2

m，-m），E（4+

1

2

m，-m）．
將E（4+

1

2

m，-m）代入y=

2

3

x²-

16

3

x+8，
得-m=

2

3

×（4+

1

2

m）²-

16

3

×（4+

1

2

m）+8，
整理得，m²+6m-16=0，
解得m₁=2，m₂=-8（不合題意舍去），
∴正方形DEFG的邊長為2，
∴S_{正方形DEFG}=2²=4．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正方形的性質(zhì)，難度適中．（3）中設(shè)出正方形DEFG的邊長為m，根據(jù)二次函數(shù)與正方形的性質(zhì)用含m的代數(shù)式正確表示點D與點E的坐標是解題的關(guān)鍵．