Question

6．已知：△ACB為等腰直角三角形，點P在AC上，連BP，過B點作BE⊥BP，BE=PB，連AE交BC于F．
（1）如圖1，問PA與CF有何數(shù)量關系，并證明；
（2）如圖2，若點P在CA的延長線上，問上結論是否仍成立，畫圖證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1作EM⊥BC，先證明CM=AP，再證明CM=2CF即可．
（2）和（1）類似．

解答 解：（1）結論：PA=2CF，理由如下：
作EM⊥BC垂足為M，
∵∠EBP=∠EMB=90°，
∴∠EBM+∠CBP=90°，∠CBP+∠CPB=90°，
∴∠EBM=∠CPB，
在△EBM和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBM=∠CPB}\\{∠EMB=∠BCP}\\{EB=BP}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△BPC，
∴BM=CP，EM=BC，
∵CB=CA，
∴CM=AP，
∵∠EMC=∠MCA=90°
∴EM∥AC，
∴$\frac{EM}{AC}=\frac{MF}{CF}$，
∵EM=BC=AC，
∴MF=FC即MC=2CF，
∴AP=2CF．
（2）結論不變，如圖2，
證明：作EM⊥BC垂足為M，
∵∠EBP=∠EMB=90°，
∴∠EBM+∠CBP=90°，∠CBP+∠CPB=90°，
∴∠EBM=∠CPB，
在△EBM和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBM=∠CPB}\\{∠EMB=∠BCP}\\{EB=BP}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△BPC，
∴BM=CP，EM=BC，∵CB=CA，
∴CM=AP，
∵∠EMC=∠MCA=90°
∴EM∥AC，
∴$\frac{EM}{AC}=\frac{MF}{CF}$，
∵EM=BC=AC，
∴MF=FC即MC=2CF，
∴AP=2CF．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，添加輔助線構造全等三角形是解決問題的關鍵．