Question

9．如圖，四邊形ABCD、CEFG都是正方形，點(diǎn)G在線段CD上，連接BG、DE，DE和FG相交于點(diǎn)O．設(shè)AB=a，CG=b（a＞b）．下列結(jié)論：①BG⊥DE；②$\frac{DG}{GC}=\frac{GO}{CE}$；③△BCG∽△EFO；④${（a-b）^2}•{S_{△EFO}}={b^2}•{S_{△DGO}}$．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）

Answer 1

分析 延長(zhǎng)BG交DE于點(diǎn)H由四邊形ABCD、CEFG都是正方形，得到BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，通過△BCG≌△DCE，可證得①正確；由EF∥CD，證得△DGO∽△DCE，可得$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，而不是$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，②錯(cuò)誤；由∠F=∠BCD=90°，∠CBG=∠CDE=∠FEO，得到△BCG∽△EFO，故③正確；根據(jù)△EFO∽△DGO，即可得到結(jié)果（a-b）²S_△EFO=b²S_△DGO，故④正確．

解答 證明：延長(zhǎng)BG交DE于點(diǎn)H．
∵四邊形ABCD、CEFG都是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠CDE=∠CBG，
∵∠DGH=∠BGC，
∴∠BCG=DHG=90°，
即BG⊥DE，故①正確；
∵EF∥CD，
∴∠GDE=∠FEO，
∵∠F═∠DCE=90°，
∴△DGO∽△DCE，
∴$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，而不是$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，
∴故②錯(cuò)誤；
∵∠F=∠BCD=90°，
∠CBG=∠CDE=∠FEO，
∴△BCG∽△EFO，故③正確；
∵△EFO∽△DGO，
∴$\frac{{S}_{△EFO}}{{S}_{△DGO}}$=${（\frac{EF}{DG}）}^{2}$=$\frac{^{2}}{{（a-b）}^{2}}$，
∴（a-b）²S_△EFO=b²S_△DGO，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．