Question

9．如圖，OA、OB是⊙O的半徑且OA⊥OB，作OA的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)C、D，連接CB、AB．
求證：∠ABC=2∠CBO．

Answer 1

分析 連接OC、AC，如圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得OC=AC，則可判斷△OAC是等邊三角形，所以∠AOC=60°，于是根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，然后在△BOC中，由于∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠CBO=15°，所以∠ABC=2∠CBO．

解答 證明：連接OC、AC，如圖，
∵CD垂直平分OA，
∴OC=AC．
∴OC=AC=OA，
∴△OAC是等邊三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，
∵OB=OC，
∴∠CBO=15°，
∴∠ABC=2∠CBO．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．