Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）求代數(shù)式x₁•x₂-x₁²-x₂²的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△=（2k+1）²-4（k²+2k）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到得x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+2k，再變形得到x₁•x₂-x₁²-x₂²=3x₁•x₂-（x₁+x₂）²，則原式=3（k²+2k）-（2k+1）²=-k²+2k-4，然后利用二次函數(shù)的最值問題求解．

解答：解：（1）根據(jù)題意得△=（2k+1）²-4（k²+2k）≥0，
解得k≤

1

4

；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+2k，
所以x₁•x₂-x₁²-x₂²=x₁•x₂-（x₁²+x₂²）
=x₁•x₂-[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]
=3x₁•x₂-（x₁+x₂）²
=3（k²+2k）-（2k+1）²
=-k²+2k-4
=-（k-1）²-3，
而k≤

1

4

，
所以k=

1

4

時(shí)，原代數(shù)式有最大值，最大值=-（

1

4

-1）²-3=-

57

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．