Question

如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3，延長BD交CF于點G．

①求證：BD⊥CF；

②當AB=4，AD=時，求線段FG的長．                                

 

Answer 1

解：（1）BD=CF成立。                     ………………1分

理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF。               ………………2分

∵當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），

∴∠BAD=∠CAF=θ。             ………………3分

在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）       

∴BD=CF。                     ………………4分

（2）①證明：設BG交AC于點M．

∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABG=∠GCA。  ………………5分

又∵∠BMA=∠CMG，

∴∠BGC=∠BAC=90°。                       ………………6分

∴BG⊥CF，即BD⊥CF。

②解法一：

如圖，連接FD，交AC于點N

∵在正方形ADEF中，AD=DE=

∴AN=FN=AE=1，F(xiàn)D=2。

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，

∴在Rt△FCN中，。………7分

∵△BAD≌△CAF（已證），∴BD=CF=。

設FG=，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=。………………8分

∵CF=，∴CG=。

∵在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，，∴。

                                    ………………9分

∵在Rt△BCG中，

∴      …………11分

整理，得

解之，得，（不合題意，故舍去）

∴FG=。                                ………………14分

解法二：

如圖，連接FD，交AC于點N；連接CD。     

 ………………7分

同解法一，可得：

DG=，CG=， ………………8分

易證△ACD≌△ABD（SAS），                 ………………9分

可得CD=BD=，                           ………………10分

在Rt△CGD中，

即           ………………12分

解之，得    故FG=